257
SECONDE PARTIE. — SECTION IX.
mais seulement très petits, il faudra que les valeurs de
ou de
et
soient aussi très petites, ce qui fait deux cas qui demandent à être examinés séparément.
37. Supposons premièrement que
soit une quantité très petite du même ordre que
et
on aura, aux quantités du second ordre près,
![{\displaystyle p={\frac {d\zeta ''}{dt}},\qquad q=-{\frac {d\zeta '}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fab01bc4561f44557b3f86ce6527416741116e7)
Par ces substitutions, en négligeant toujours les quantités du second ordre et changeant, pour plus de simplicité, les lettres
en
les équations différentielles de l’article précédent deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {A} d^{2}u-\mathrm {G} d^{2}\theta +\mathrm {H} d^{2}s}{dt^{2}}}+\mathrm {K} u=&0,\\{\frac {-\mathrm {B} d^{2}s-\mathrm {F} d^{2}\theta -\mathrm {H} d^{2}u}{dt^{2}}}-\mathrm {K} s=&0,\\{\frac {\mathrm {C} d^{2}\theta +\mathrm {F} d^{2}s-\mathrm {G} d^{2}u}{dt^{2}}}=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972e639da21908f48cea21774bee4a49003c844d)
La dernière donne
et, cette valeur étant substituée dans les deux premières, on aura ces deux-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {\left(AC-G^{2}\right)} d^{2}u+(\mathrm {CH+GF} )d^{2}s}{dt^{2}}}+\mathrm {CK} u=&0,\\{\frac {\mathrm {\left(BC-F^{2}\right)} d^{2}s+(\mathrm {CH+GF} )d^{2}u}{dt^{2}}}+\mathrm {CK} s=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c377a4fce2cc492335d905af18f2710ffd1fadc1)
dont l’intégration est facile par les méthodes connues.
Qu’on suppose pour cela
![{\displaystyle s=\alpha \sin(\rho t+\beta ),\qquad u=\gamma \sin(\rho t+\beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135d87912f0ef174522402d05ac06030688722c4)
étant des constantes indéterminées ; on aura, après ces substitutions, ces deux équations de condition
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\left(AC-G^{2}\right)\gamma \rho ^{2}+(CH+GF)\alpha \rho ^{2}-CK\gamma } =0,\\\mathrm {\left(BC-F^{2}\right)\alpha \rho ^{2}+(CH+GF)\gamma \rho ^{2}-CK\alpha } =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77b21c05276427c1e5b7e3a7afd45662222a4c6)