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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

lesquelles donnent

${\frac {\gamma }{\alpha }}=\mathrm {{\frac {(CH+GF)\rho ^{2}}{CK-\left(AC-G^{2}\right)\rho ^{2}}}={\frac {CK-\left(BC-F^{2}\right)\rho ^{2}}{(CH+GF)\rho ^{2}}}} \,;$

d’où résulte cette équation en $\rho$

$\mathrm {{\frac {C^{2}K^{2}}{\rho ^{4}}}-\left[BC-F^{2}+AC-G^{2}\right]{\frac {CK}{\rho ^{2}}}+\left(BC-F^{2}\right)\left(AC-G^{2}\right)} -\mathrm {(CH+GF)^{2}} =0,$

laquelle aura, comme l’on voit, quatre racines égales deux à deux et de signe contraire.

Si donc on désigne, en général, par $\rho$ et $\rho '$ les racines inégales de cette équation, abstraction faite de leur signe, et qu’on prenne quatre constantes arbitraires $\alpha ,\,\alpha ',\,\beta ,\,\beta ',$ on aura, en général,

$s=\alpha \sin(\rho t+\beta )+\alpha '\sin(\rho 't+\beta ')$

et par conséquent

$u=\mathrm {{\frac {(CH+GF)\rho ^{2}\alpha \sin(\rho t+\beta )}{CK-\left(AC-G^{2}\right)\rho ^{2}}}+{\frac {(CH+GF)\rho '^{2}\alpha '\sin(\rho 't+\beta ')}{CK-\left(AC-G^{2}\right)\rho '^{2}}}} .$

Enfin, on aura, en intégrant la valeur de ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},$

$\theta =f+ht+{\frac {\mathrm {G} u-\mathrm {F} s}{\mathrm {C} }}.$

De sorte que l’on connaîtra ainsi toutes les variables en fonction de $t,$ et le problème sera résolu.

Au reste, comme cette solution est fondée sur l’hypothèse que $s,\,u$ et ${\frac {d\theta }{dt}}$ soient de très petites quantités, il faudra pour qu’elle soit légitime : 1^o que les constantes $\alpha ,\,\alpha '$ et $h$ soient aussi très petites ; 2^o que les racines $\rho ,\,\rho '$ soient réelles et inégales, afin que l’angle $t$ soit toujours sous le signe des sinus. Or cette seconde condition exige ces deux-ci

$\mathrm {BC-F^{2}+AC-G^{2}>0} ,$

$\mathrm {\left[BC-F^{2}+AC-G^{2}\right]^{2}>4\left[\left(BC-F^{2}\right)\left(AC-G^{2}\right)-(CH+GF)^{2}\right]} ,$