cette proposition, il se contenta de la donner comme un principe d’expérience, à la fin de son Traité De Motu naturaliter accelerato, imprimé en 1643. Newton entreprit de la démontrer dans le second Livre des Principes mathématiques, qui parurent en 1687 ; mais il faut avouer que c’est l’endroit le moins satisfaisant de ce grand Ouvrage.
Si l’on considère une colonne d’eau qui tombe librement dans le vide, il est aisé de se convaincre qu’elle doit prendre la figure d’un conoïde formé par la révolution d’une hyperbole du quatrième ordre autour de l’axe vertical ; car la vitesse de chaque tranche horizontale est, d’un côté, comme la racine carrée de la hauteur d’où elle est descendue, et, de J’autre, elle doit être, par la continuité de l’eau, en raison inverse de la largeur de cette tranche et, par conséquent, en raison inverse du carré de son rayon ; d’où il résulte que la portion de l’axe, ou l’abscisse qui représente la hauteur, est en raison inverse de la quatrième puissance de l’ordonnée de l’hyperbole génératrice. Si donc on se représente un vase qui ait la figure de ce conoïde, et qui soit entretenu toujours plein d’eau, et qu’on suppose le mouvement de l’eau parvenu à un état permanent, il est clair que chaque particule d’eau y descendra comme si elle était libre, et qu’elle aura, par conséquent, au sortir de l’orifice, la vitesse due à la hauteur du vase de laquelle elle est tombée.
Or Newton imagine que l’eau qui remplit un vase cylindrique vertical, percé à son fond d’une ouverture par laquelle elle s’échappe, se partage naturellement en deux parties, dont l’une est seule en mouvement et a la figure du conoïde dont nous venons de parler : c’est ce qu’il nomme la cataracte ; l’autre est en repos, comme si elle était glacée. De cette manière, il est clair que l’eau doit s’échapper avec une vitesse égale à celle qu’elle aurait acquise en tombant de la hauteur du vase, comme Torricelli l’avait trouvé par l’expérience. Cependant Newton, ayant mesuré la quantité d’eau sortie dans un temps donné et l’ayant comparée à la grandeur de l’orifice, en avait conclu, dans la première édition de ses Principes, que la vitesse au sortir du vase n’était due qu’à la moitié de la hauteur de l’eau dans le vase. Cette
