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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

10. Reprenons donc les équations fondamentales (A) et (B) des articles 2 et 3, et introduisons-y les variables

$p={\frac {dx}{dt}},\qquad q={\frac {dy}{dt}},\qquad r={\frac {dz}{dt}},$

regardées comme des fonctions de $x,y,z,t.$

Il est clair que les quantités ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ peuvent être mises sous la forme ${\frac {d{\cfrac {dx}{dt}}}{dt}},\,{\frac {d{\cfrac {dy}{dt}}}{dt}},\,{\frac {d{\cfrac {dz}{dt}}}{dt}},$ où les quantités ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ sont censées des fonctions de $a,\,b,\,c,\,t.$

En les regardant donc comme telles, on aura, pour la différence de ${\frac {dx}{dt}},$

${\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial a}}da+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial b}}db+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial c}}dc,$

et ainsi des autres ; mais en les regardant comme fonctions de $x,\,y,\,z,\,t,$ et les désignant par $p,\,q,\,r,$ leurs différences complètes seront

${\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz,$

et ainsi des autres différence ; donc, si dans ces dernières expressions on met pour $dx,\,dy,\,dz$ leurs valeurs en $a,\,b,\,c,\,t,$ il faudra qu’elles deviennent identiques avec les premières ; mais, $x$ étant regardé comme fonction de $a,\,b,\,c,\,t,$ on a

$dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt+{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc,$

où ${\frac {\partial x}{\partial t}}$ est évidemment $p,$ en supposant qu’on mette dans $p$ les valeurs de $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c,\,t.$

Ainsi l’on aura

$dx=p\,dt+{\frac {\partial x}{\partial a}}da+\ldots \,;$