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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

et, de même,

$dy=q\,dt+{\frac {\partial y}{\partial a}}da+\ldots ,\quad dz=r\,dt+{\frac {\partial z}{\partial a}}da+\ldots .$

Substituant ces valeurs dans l’expression de la différence complète de ${\frac {dx}{dt}},$ les termes affectés de $dt$ seront

$\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)dt,$

lesquels devant être identiques avec le terme correspondant ${\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}dt,$ ou bien ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}dt,$ on aura

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\,;$

et l’on trouvera de la même manière

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&{\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}},\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&{\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}.\end{aligned}}$

On fera donc ces substitutions dans les équations (A) ; et comme dans ces mêmes équations les termes ${\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}$ représentent des différencies partielles de $\lambda$ relativement à $x,\,y,\,z,$ en supposant $t$ constant, on y pourra changer la caractéristique $\operatorname {D}$ en $d.$

On aura ainsi les transformées

(F)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mathrm {X} \right)&-{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=0,\\\Delta \left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}+\mathrm {Y} \right)&-{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}=0,\\\Delta \left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)&-{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0.\end{aligned}}\right.$

À l’égard de l’équation (B) de l’article 3, dans laquelle les diffé-