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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

de $t,$ l’équation

${\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}=0,$

où il faudra mettre pour ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ leurs valeurs $p,\,q,\,r.$

Ainsi on aura l’équation

(H)

${\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+p{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+q{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}+r{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}=0,$

qui servira à déterminer l’inconnue $\Delta$ dans les équations (F), parce que dans ces équations on doit traiter $\Delta$ comme une fonction de $x,\,y,\,z.$

À cet égard, elles sont moins avantageuses que les équations (C) ou (D), dans lesquelles on peut regarder $\Delta$ comme une fonction connue de $a,\,b,\,c.$

12. Ce que nous venons de dire relativement à la fonction $\Delta ,$ il faudra l’appliquer aussi à la fonction $\mathrm {A} ,$ en tant que $\mathrm {A} =0$ est l’équation des parois du vase et qu’on suppose que le fluide contigu aux parois ne peut se mouvoir qu’en coulant le long de ces parois, de manière que les mêmes particules restent toujours à la surface ; car cette condition demande, comme on l’a vu dans l’article 8, que $\mathrm {A}$ devienne une fonction de $a,\,b,\,c$ sans $t\,;$ de sorte qu’en regardant cette quantité comme une fonction de $x,\,y,\,z,\,t,$ on aura aussi l’équation

(I)

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial t}}+p{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+q{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}+r{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial z}}=0.$

Pour les parties de la surface où le fluide sera libre, on aura l’équation $\lambda =0$ (art. 2) ; il faudra, par conséquent, pour satisfaire à la même condition, relativement à cette surface, que l’on ait aussi

(K)

${\frac {\partial \lambda }{\partial t}}+p{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+q{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}+r{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0.$

13. Voilà les formules les plus générales et les plus simples pour la détermination rigoureuse du mouvement des fluides. La difficulté ne