Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/300

292

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

15. Voyons donc si les équations (F), considérées en elles-mêmes, ne sont pas susceptibles de quelque simplification.

En ne considérant dans la fonction $\lambda$ que la variabilité de $x,\,y,\,z,$ on a

$d\lambda ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}dz.$

Donc, substituant pour ${\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\,{\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\,{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}$ leurs valeurs tirées de ces équations, on aura

${\begin{aligned}d\lambda =&+\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mathrm {X} \right)\Delta dx\\&+\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}+\mathrm {Y} \right)\Delta dy\\&+\left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)\Delta dz.\end{aligned}}$

Le premier membre de cette équation étant une différentielle complète, il faudra que le second en soit une aussi, relativement à $x,\,y,\,z\,;$ et la valeur de $\lambda$ qu’on en tirera satisfera à la fois aux équations (F).

Supposons maintenant que le fluide soit homogène, en sorte que la densité $\Delta$ soit constante ; et faisons-la, pour plus de simplicité, égale à l’unité.

Supposons, de plus, que les forces accélératrices $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ soient telles que la quantité $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ soit une différentielle complète. Cette condition est celle qui est nécessaire pour que le fluide puisse être en équilibre par ces mêmes forces, comme on l’a vu dans l’article 19 de la Section VII de la I^re Partie. Elle a d’ailleurs toujours lieu lorsque ces forces viennent d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, ce qui est le cas de la nature, puisqu’en nommant les attractions $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ et les distances $p,\,q,\,r,\ldots ,$ on a, en général (I^re Partie, Sect. V, art. 7),

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$