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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

Faisant donc

$\Delta =1$

et

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =d\mathrm {V} ,$

l’équation précédente deviendra

(L)

$\left\{{\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&+\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)dx\\&+\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}\right)dy\\&+\left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)dz\,;\end{aligned}}\right.$

et il faudra que le second membre de cette équation soit une différentielle complète, puisque le premier en est une. Cette équation équivaudra aussi aux équations (F) de l’article 10.

Or, en considérant la différentielle de ${\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}},$ prise relativement à $x,\,y,\,z,$ il n’est pas difficile de voir qu’on peut donner au second membre de l’équation dont il s’agit cette forme

${\begin{aligned}{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}}+{\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz&+\left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)(qdx-pdy)\\+\left({\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}}\right)(rdx-pdz)&+\left({\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}\right)(rdy-qdz)\,;\end{aligned}}$

et l’on voit d’abord que cette quantité sera une différentielle complète, toutes les fois que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ le sera elle-même ; car alors sa différentielle par rapport à $t,$ savoir ${\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz,$ le sera aussi, et, de plus, les conditions connues de l’intégrabilité donneront

${\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}=0.$

D’où il suit qu’on pourra satisfaire à l’équation (L) par la simple supposition que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ soit une différentielle complète : et le calcul du mouvement du fluide sera par là beaucoup simplifié.