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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Mais, comme ce n’est qu’une supposition particulière, il importe d’examiner, avant tout, dans quels cas elle peut et doit avoir lieu.

16. Soit, pour abréger,

$\alpha ={\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}},\quad \beta ={\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}},\quad \gamma ={\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}\,;$

il ne s’agira que de rendre une différentielle exacte la quantité^[1]

${\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz+\alpha (q\,dx-p\,dy)+\beta (r\,dx-p\,dz)+\gamma (r\,dy-q\,dz).$

En regardant $p,\,q,\,r$ comme des fonctions de $t,$ on peut supposer

${\begin{alignedat}{6}&p&=&p'&+&p''t&+&p'''t^{2}&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&q&=&q'&+&q''t&+&q'''t^{2}&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&r&=&r'&+&r''t&+&r'''t^{2}&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

les quantités $p',\,p'',\,p''',\ldots ,$ $q',\,q'',\,q''',\ldots ,$ $r',\,r'',\,r''',\ldots$ étant des fonctions de $x,y,z$ sans $t.$

Ces valeurs étant substituées dans les trois quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ elles deviendront

${\begin{alignedat}{6}&\alpha &=&\alpha '&+&\alpha ''t&+&\alpha '''t^{2}&+&\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&\beta &=&\beta '&+&\beta ''t&+&\beta '''t^{2}&+&\beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&\gamma &=&\gamma '&+&\gamma ''t&+&\gamma '''t^{2}&+&\gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

en supposant

${\begin{alignedat}{3}\alpha '=&{\frac {\partial p'}{\partial y}}-{\frac {\partial q'}{\partial x}},\qquad &\alpha ''=&{\frac {\partial p''}{\partial y}}-{\frac {\partial q''}{\partial x}},\qquad &\ldots ,\\\beta '=&{\frac {\partial p'}{\partial z}}-{\frac {\partial r'}{\partial x}},&\beta ''=&{\frac {\partial p''}{\partial z}}-{\frac {\partial r''}{\partial x}},&\ldots ,\\\gamma '=&{\frac {\partial q'}{\partial z}}-{\frac {\partial r'}{\partial y}},&\gamma ''=&{\frac {\partial q''}{\partial z}}-{\frac {\partial r''}{\partial y}},&\ldots .\end{alignedat}}$

Ainsi la quantité

${\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz+\alpha (q\,dx-p\,dy)+\beta (r\,dx-p\,dz)+\gamma (r\,dy-q\,dz)$

1. Il semble qu’il faudrait plutôt : il faut, en vertu de l’équation (L), que la quantité suivante soit une différentielle exacte. (J. Bertrand.)