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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.
deviendra, après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport aux puissances de 
![{\displaystyle {\begin{aligned}p''dx&+q''dy+r''dz+\alpha '(q'dx-p'dy)+\beta '(r'dx-p'dz)+\gamma '(r'dy-q'dz)\\&+t\left[2(p'''dx+q'''dy+r'''dz)\right.\\&\ \ \qquad +\alpha '\ (q''dx-p''dy)+\beta '\ (r''dx-p''dz)+\gamma '\ (r''dy-q''dz)\\&\ \ \qquad \left.+\ \alpha ''(q'\ dx-p'\ dy)+\beta ''(r'\ dx-p'\ dz)+\gamma ''(r'\,dy-q'\ dz)\right]\\\\&+t^{2}\left[3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz)\right.\\&\ \ \qquad +\alpha '\ \,(q'''dx-p'''dy)+\beta '\ \ (r'''dx-p'''dz)+\gamma '\ (r'''dy-q'''dz)\\&\ \ \qquad +\alpha ''\ (q''\ dx-p''\,dy)+\beta ''\ (r''\ dx-p''\ dz)+\gamma ''(r''\ dy-q''\ dz)\\&\ \ \qquad \left.+\ \alpha '''(q'\ \ dx-p'\ \,dy)+\beta '''(r'\ \,dx-p'\ \,dz)+\gamma '''(r'\ \,dy-q'\ \,dz)\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6a42206c78a0636797bfb173bdbeac901f50d2)
et comme cette quantité doit être une différentielle exacte, indépendamment de la valeur de il faudra que les quantités qui multiplient chaque puissance de 
soient, chacune en particulier, des différentielles exactes.
Cela posé, supposons que 
soit une différentielle exacte ; on aura, par les théorèmes connus,
donc
donc la première quantité qui doit être une différentielle exacte se réduira à 
et l’on aura, par conséquent, ces équations de condition
Alors la seconde quantité qui doit être une différentielle exacte deviendra 
et il résultera de là les nouvelles équations
De sorte que la troisième quantité qui doit être une différentielle
