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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

exacte sera $3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz)\,;$ d’où l’on tirera pareillement les équations

$\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\qquad \beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\qquad \gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\,;$

et ainsi de suite. Donc, si $p'dx+q'dy+r'dz$ est une différentielle exacte, il faudra que

$p''dx+q''dy+r''dz,\quad p'''dx+q'''dy+r'''dz,\quad p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz,\quad \ldots$

soient aussi, chacune en particulier, des différentielles exactes. Par conséquent, la quantité entière $p\,dx+q\,dx+r\,dz$ sera, dans ce cas, une différentielle exacte, le temps $t$ étant supposé fort petit.

17. Il s’ensuit de là que, si la quantité $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ est une différentielle exacte lorsque $t=0,$ elle devra l’être aussi lorsque $t$ aura une valeur quelconque ; donc, en général, comme l’origine des $t$ est arbitraire, et qu’on peut prendre également $t$ positif ou négatif, il s’ensuit que, si la quantité $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra l’être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement ; car, si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier.

18. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors $p=0,$ $q=0,$ $r=0,$ lorsque $t=0\,;$ donc $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ sera intégrable pour ce moment et, par conséquent, devra l’être toujours pendant toute la durée du mouvement.

Mais s’il y a des vitesses imprimées au fluide au commencement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles que

$p\,dx+q\,dy+r\,dz$

soit une quantité intégrable ou non ; dans le premier cas, la quantité

$p\,dx+q\,dy+r\,dz$

sera toujours intégrable ; dans le second, elle ne le sera jamais.