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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, comme par l’action d’un piston, on peut démontrer que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ doit être intégrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses $p,q,r$ que chaque point du fluide reçoit en vertu de l’impulsion donnée à la surface soient telles que, si l’on détruisait ces vitesses en imprimant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos ou en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse, en vertu de l’impulsion appliquée à la surface et des vitesses ou forces $-p,\,-q,\,-r,$ appliquées à chacun des points de son intérieur ; par conséquent, d’après la loi générale de l’équilibre des fluides (I^re Partie, Sect. VII, art. 19), les quantités $p,\,q,\,r$ devront être telles que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ soit une différentielle exacte. Ainsi, dans ce cas, la même quantité devra toujours être une différentielle exacte dans chaque instant du mouvement.

19. On pourrait peut-être douter s’il y a des mouvements possibles dans un fluide, pour lesquels $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ ne soit pas une différentielle exacte.

Pour lever ce doute par un exemple très simple, il n’y a qu’à considérer le cas où l’on aurait

$p=gy,\qquad q=-gx,\qquad r=0,$

$g$ étant une constante quelconque. On voit d’abord que, dans ce cas, $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ ne sera pas une différentielle complète, puisqu’elle devient $g(ydx-xdy),$ qui n’est pas intégrable ; cependant l’équation (L) de l’article 15 sera intégrable d’elle-même, car on aura

${\frac {\partial p}{\partial y}}=g,\quad {\frac {\partial q}{\partial x}}=-g,$

et toutes les autres différences partielles de $p$ et $q$ seront nulles ; de sorte que l’équation dont il s’agit

$d\lambda -d\mathrm {V} =-g^{2}(xdx+ydy),$