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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

dont l’intégrale donne

$\lambda =\mathrm {V} -{\frac {g^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)+\mathrm {fonct} .t,$

valeur qui satisfera donc aux trois équations (F) de l’article 10.

À l’égard de l’équation (G) du même article, elle aura lieu aussi, puisque les valeurs supposées donnent

${\frac {\partial p}{\partial x}}=0,\qquad {\frac {\partial q}{\partial y}}=0,\qquad {\frac {\partial r}{\partial z}}=0.$

Au reste, il est visible que ces valeurs de $p,\,q,\,r$ représentent le mouvement d’un fluide qui tourne autour de l’axe fixe des coordonnées $z,$ avec une vitesse angulaire constante et égale à $g\,;$ et l’on sait qu’un pareil mouvement peut toujours avoir lieu dans un fluide.

On peut conclure de là que, dans le calcul des oscillations de la mer en vertu de l’attraction du Soleil et de la Lune, on ne peut pas supposer que la quantité $pdx+qdy+rdz$ soit intégrable, puisqu’elle ne l’est pas lorsque le fluide est en repos par rapport à la Terre, et qu’il n’a que le mouvement de rotation qui lui est commun avec elle.

20. Après avoir déterminé les cas dans lesquels on est assuré que la quantité $pdx+qdy+rdz$ doit être une différentielle complète, voyons comment, d’après cette condition, on peut résoudre les équations du mouvement des fluides.

Soit donc

$pdx+qdy+rdz=d\varphi ,$

$\varphi$ étant une fonction quelconque de $x,y,z$ et de la variable $t,$ laquelle est regardée comme constante dans la différentielle $d\varphi \,;$ on aura donc

$p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\,;$

et, substituant ces valeurs dans l’équation (L) de l’article 15, elle