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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\ +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}}\right)dx\\&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}\ +{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}}\right)dy\\&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\ \right)dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39748c2d8018a961a8be4e5b47b30afe2880eac8)
dont l’intégrale, relativement à
est évidemment
![{\displaystyle \lambda -\mathrm {V} ={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79562027659c5199cea376f76025c89d9ddce7a5)
On pourrait y ajouter une fonction arbitraire de
puisque cette variable est regardée dans l’intégration comme constante ; mais j’observe que cette fonction peut être censée renfermée dans la valeur de
car, en augmentant
d’une fonction quelconque
de
les valeurs de
demeurent les mêmes qu’auparavant, et le second membre de l’équation précédente se trouvera augmenté de la fonction
qui est arbitraire. On peut donc, sans déroger à la généralité de cette équation, se dispenser d’y ajouter aucune fonction arbitraire de
On aura donc, par cette équation,
![{\displaystyle \lambda =\mathrm {V} +{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62d75e7755794c384c375912b4f7930196f5825)
valeur qui satisfera à la fois aux trois équations (F) de l’article 10 ; et la détermination de
dépendra de l’équation (G) du même article, laquelle, en substituant pour
leurs valeurs
devient
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38691e09c3f3af92d9d040a333a67aa584e5550)
Ainsi toute la difficulté ne consistera plus que dans l’intégration de cette dernière équation.
21. Il y a encore un cas très étendu, dans lequel la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)