300
MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
doit être une différentielle exacte c’est celui où l’on suppose que les vitesses
soient très petites et qu’on néglige les quantités très petites du second ordre et des ordres suivants. Gar il est visible que, dans cette hypothèse, la même équation (L) se réduira à
![{\displaystyle d\lambda -d\mathrm {V} ={\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/289ac86e51bdb1dabe3ed45359f1c94b9e16b07a)
où l’on voit que,
devant être intégrable relativement à
la quantité
devra l’être aussi. On aura ainsi les mêmes formules que dans l’article précédent, en supposant
une fonction très petite et négligeant les secondes dimensions de
et de ses différentielles.
On pourra de plus, dans ce cas, déterminer les valeurs mêmes de
pour un temps quelconque, car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations (art. 9)
![{\displaystyle dx=pdt,\qquad dy=qdt,\qquad dz=rdt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e6cb92bea97397f95db2d1e1f797c7c847555d)
dans lesquelles, puisque
sont très petites et que, par conséquent,
sont aussi très petites du même ordre vis-à-vis de
on pourra regarder
comme constantes par rapport à
De sorte qu’en traitant
seul comme variable dans les fonctions
et ajoutant les constantes
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle x=a+\int pdt,\qquad y=b+\int qdt,\qquad z=c+\int rdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a843d120f26e00ee8496312aeb249421daf6763)
Donc faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \Phi =\int \varphi dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6070f62c8980cde9ce8cbe8d1f71cb484cb9e579)
et changeant dans
les variables
en
on aura simplement
![{\displaystyle x=a+{\frac {\partial \Phi }{\partial a}},\qquad y=b+{\frac {\partial \Phi }{\partial b}},\qquad z=c+{\frac {\partial \Phi }{\partial c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da855eadb911b61e244bac2b7cd2f95c4c28782)
où la fonction
devra être prise de manière qu’elle soit nulle lorsque
afin que
soient les valeurs initiales de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
Ce cas a lieu dans la théorie des ondes et dans toutes les petites oscillations.