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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

Ensuite, à cause de $\cos \zeta =0,$ la quantité $\lambda ''$ sera aussi très petite du premier ordre. Par conséquent, la valeur de $\lambda$ se réduira (art. 25) à

$\lambda '=-gx+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx}{\gamma }}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ^{2}}}.$

Cette valeur, égalée à zéro, donnera la figure de la surface du fluide ; et comme elle ne renferme point l’ordonnée $z,$ mais seulement l’abscisse $x$ et le temps $t,$ il s’ensuit que la surface du fluide devra être à chaque instant plane et liorizontale.

Enfin l’équation de condition pour que les mêmes particules soient toujours à la surface se réduira, par la même raison, à celle-ci (art. 27)

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}=0,$

savoir

${\frac {\partial \lambda }{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma }}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=0,$

laquelle ne contient pas non plus $z,$ mais seulement $x$ et $t.$

29. Pour distinguer les quantités qui se rapportent à la surface supérieure du fluide de celles qui se rapportent à la surface inférieure, nous marquerons les premières par un trait et les secondes par deux traits. Ainsi $x',\,\gamma ',\ldots$ seront l’abscisse, la largeur du vase, … pour la surface supérieure ; $x'',\,\gamma '',\ldots$ seront de même l’abscisse, la largeur du vase, … à la surface inférieure.

Donc aussi, $\lambda ',\,\lambda ''$ dénoteront dans la suite les valeurs de $\lambda$ pour les deux surfaces ; de sorte que l’on aura, pour la surface supérieure, l’équation

$\lambda '=-gx'+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma '^{2}}}=0,$

et, pour la surface inférieure, l’équation semblable

$\lambda ''=-gx''+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ''^{2}}}=0.$