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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Enfin

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0$

sera l’équation de condition pour que les mêmes particules qui sont une fois à la surface supérieure y restent toujours, et

${\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma ''}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}=0$

sera l’équation de condition pour que la surface inférieure contienne toujours les mêmes particules du fluide.

Cela posé, il faut distinguer quatre cas dans la manière dont un fluide peut couler dans un vase ; et chacun de ces cas demande une solution particulière.

30. Le premier cas est celui où une quantité donnée de fluide coule dans un vase indéfini. Dans ce cas, il est visible que l’une et l’autre surface doit toujours contenir les mêmes particules, et qu’ainsi on aura pour ces deux surfaces les équations

$\lambda '=0,\quad \lambda ''=0$

et, de plus,

${\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}\ &+{\frac {\theta }{\gamma '}}\ {\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}\ =0,\\{\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}&+{\frac {\theta }{\gamma ''}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}=0,\end{aligned}}$

quatre équations qui serviront à déterminer les variables $x',\,x'',\,\theta ,\,\vartheta$ en $t.$

L’équation $\lambda '=0,$ étant différentiée, donne

${\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}dx'+{\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}dt=0\,;$

donc

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}=-{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}{\frac {dx'}{dt}}\,;$