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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

substituant cette valeur dans l’équation

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0,$

et divisant par ${\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}},$ on aura

${\frac {dx'}{dt}}={\frac {\theta }{\gamma '}}.$

On trouvera de même, en combinant l’équation $\lambda ''=0$ avec l’équation

${\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}=-{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}{\frac {dx''}{dt}},$

celle-ci

${\frac {dx''}{dt}}={\frac {\theta }{\gamma }}.$

Donc on aura

$\theta dt=\gamma 'dx'=\gamma ''dx'',$

équations séparées ; par conséquent, on aura, en intégrant,

$\int \gamma ''dx''-\int \gamma 'dx'=m,$

$m$ étant une constante, laquelle exprime évidemment la quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Cette équation donnera ainsi la valeur de $x''$ en $x'.$

Maintenant, si l’on substitue, dans l’équation $\lambda '=0,$ pour $dt$ sa valeur ${\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},$ elle devient

$-gx'+{\frac {\theta d\theta }{\gamma 'dx'}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}+{\frac {\theta d\vartheta }{\gamma 'dx'}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma '^{2}}}=0,$

laquelle, étant multipliée par $-\gamma 'dx',$ donne celle-ci

$g\gamma 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\gamma '}}=0,$

qu’on voit être intégrable et dont l’intégrale sera

$g\int \gamma 'x'dx'-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\int \theta d\vartheta =\mathrm {const} .$