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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.
Ensuite la valeur de la quantité
se réduira à
(art. 25) ; et il faudra négliger dans l’expression de
les quantités du second ordre, et dans celle de
les quantités du premier. Ainsi, à cause de
![{\displaystyle \cos \xi =0,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0788e8e73fe89899f031159633000c081ee0515)
on aura, par les formules du même article,
![{\displaystyle \lambda '={\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2},\quad \lambda ''=-g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252cf53f665ba0bf3c4be98cd9db930fe44f5117)
On aura donc (art. 27), pour la surface supérieure du fluide, l’équation
![{\displaystyle \lambda '-gz=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e46e3a747addbfa3b9316fc9c95ba5006ab4e6)
et ensuite l’équation de condition
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}-g\varphi ''+gz\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29fc8ec03cbf03f0df9b8b21f6a5f19cc3d14bf)
L’équation
donne sur-le-champ
pour la figure de la surface supérieure du fluide à chaque instant, et, comme l’équation de condition doit avoir lieu aussi relativement à la même surface, il faudra qu’elle soit vraie en y substituant à
cette même valeur
Cette équation deviendra donc par là de cette forme
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\lambda '{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\lambda '{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)-g\varphi ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a025dd75ea086c8793f0a080a27f6e0372f1a1)
et, substituant encore pour
sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[(\lambda '-g\alpha ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\lambda '-g\alpha ){\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c2c5de42069c29977fbd81907ed2c306bb9f80)
dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39800d92bb831d401d774121b93f405b6a5b96b)
et l’on aura une équation aux différences partielles du second ordre, qui servira à déterminer
en fonction de ![{\displaystyle x,\,y,\,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a817d7a2d1db8c0c23e68e06d76c0632e6444aa)