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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

Ensuite la valeur de la quantité $\lambda$ se réduira à $\lambda '+\lambda ''z$ (art. 25) ; et il faudra négliger dans l’expression de $\lambda '$ les quantités du second ordre, et dans celle de $\lambda ''$ les quantités du premier. Ainsi, à cause de

$\cos \xi =0,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =1,$

on aura, par les formules du même article,

$\lambda '={\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2},\quad \lambda ''=-g.$

On aura donc (art. 27), pour la surface supérieure du fluide, l’équation

$\lambda '-gz=0,$

et ensuite l’équation de condition

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}-g\varphi ''+gz\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)=0.$

L’équation $\lambda '-gz=0$ donne sur-le-champ $z={\frac {\lambda '}{g}}$ pour la figure de la surface supérieure du fluide à chaque instant, et, comme l’équation de condition doit avoir lieu aussi relativement à la même surface, il faudra qu’elle soit vraie en y substituant à $z$ cette même valeur ${\frac {\lambda '}{g}}.$

Cette équation deviendra donc par là de cette forme

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\lambda '{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\lambda '{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)-g\varphi ''=0,$

et, substituant encore pour $\varphi ''$ sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[(\lambda '-g\alpha ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\lambda '-g\alpha ){\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right]=0,$

dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de $\lambda '$ sa valeur

${\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2}\,;$

et l’on aura une équation aux différences partielles du second ordre, qui servira à déterminer $\varphi '$ en fonction de $x,\,y,\,t.$