Après quoi on connaîtra la figure de la surface supérieure du fluide, par l’équation
et si l’on voulait connaître aussi les vitesses horizontales de chaque particule du fluide, on les aurait par les formules (art. 25)
36. Le calcul intégral des équations aux différences partielles est encore bien éloigné de la perfection nécessaire pour l’intégration d’équations aussi compliquées que celle dont il s’agit, et il ne reste d’autre ressource que de simplifier cette équation par quelque limitation.
Nous supposerons pour cela que le fluide, dans son mouvement, ne s’élève ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous du niveau qu’infiniment peu, en sorte que les ordonnées de la surface supérieure soient toujours très petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales et soient aussi infiniment petites. Il faudra donc que les quantités soient infiniment petites, et qu’ainsi la quantité soit elle-même infiniment petite.
Ainsi, négligeant dans l’équation proposée les quantités infiniment petites du second ordre et des ordres ultérieurs, elle se réduira à cette forme linéaire
et l’on aura
Cette équation contient donc la théorie générale des petites agitations d’un fluide peu profond, et, par conséquent, la vraie théorie des ondes formées par les élévations et les abaissements successifs et infiniment petits d’une eau stagnante et contenue dans un canal ou bassin peu profond. La théorie des ondes que Newton a donnée dans la propo-
