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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

fluide, si le fluide y est libre ; mais s’il est contenu par des parois, la valeur de $\varepsilon$ sera égale à la résistance que les parois exercent pour contenir le fluide, ce qui est évident, puisque $\varepsilon$ exprime la force d’élasticité de ses particules.

2. Dans les fluides compressibles, la densité est toujours donnée par une fonction connue de $\varepsilon ,\,x,\,y,\,z,\,t,$ dépendante de la loi de l’élasticité du fluide et de celle de la chaleur, qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l’espace. Il y a donc quatre inconnues $\varepsilon ,\,x,\,y,\,z,$ à déterminer en $t,$ et, par conséquent, il faut encore une quatrième équation pour la solution complète du problème. Pour les fluides incompressibles, la condition de l’invariabilité du volume a donné l’équation (B) de l’article 3, et celle de l’invariabilité de la densité d’un instant à l’autre a donné l’équation (H) de l’article 11. Dans les fluides compressibles, aucune de ces deux conditions n’a lieu en particulier, parce que le volume et la densité varient à la fois ; mais la masse qui est le produit de ces deux éléments doit demeurer invariable. Ainsi l’on aura

$d(\Delta \operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)=0.$

Donc, en différentiant logarithmiquement

${\frac {d\Delta }{\Delta }}+{\frac {d(\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)}{\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z}}=0,$

et substituant la valeur de $d(\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)$ [cette valeur est la même que celle de $\delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)$ de l’article 2 de la section précédente, en y changeant $d$ en $\delta$], on aura l’équation

(b)

${\frac {d\Delta }{\Delta }}+{\frac {\operatorname {D} dx}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} dy}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} dz}{\operatorname {D} z}}=0,$

laquelle répond à l’équation (B) de l’article 3 de la Section citée, celle-là étant relative à l’invariabilité du volume, et celle-ci à l’invariabilité de la masse.