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SECONDE PARTIE. — SECTION XII.

sion par $\Delta ,$ une équation de la forme

(l)

$\left\{{\begin{aligned}d\mathrm {E} +d\mathrm {V} =&-\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)dx\\&-\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}\right)dy\\&-\left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)dz,\end{aligned}}\right.$

dont le premier membre étant intégrable, il faudra que le second le soit aussi. Ainsi l’on aura de nouveau le cas de l’équation (L) de l’article 15 de la Section précédente, et l’on parviendra, par conséquent, à des résultats semblables.

7. Donc, en général, si la quantité $pdx+qdy+rdz$ se trouve dans un instant quelconque une différentielle complète, ce qui a toujours lieu au commencement du mouvement lorsque le fluide part du repos ou qu’il est mis en mouvement par une impulsion appliquée à la surface, alors la même quantité devra être toujours une différentielle complète (Section précédente, art. 17 et 18).

Dans cette hypothèse on fera, comme dans l’article 20 de la Section précédente,

$pdx+qdy+rdz=d\varphi ,$

ce qui donne

$p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}},$

et l’équation (l), étant intégrée après ces substitutions, donnera

(m)

$\mathrm {E} =-\mathrm {V} -{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2},$

valeur qui satisfera en même temps aux trois équations (f) de l’article 4.

Or $\mathrm {E} ,$ étant égal à $\int {\frac {d\varepsilon }{\Delta }},$ sera une fonction de $\Delta ,$ puisque $\varepsilon$ est une fonction connue de $\Delta \,;$ donc $\Delta$ sera une fonction de $\mathrm {E} .$ Substituant donc la valeur de $\Delta$ tirée de l’équation précédente, ainsi que celles de $p,q,r,$