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SECONDE PARTIE. — SECTION XII.

valeur de $t,$ ce qui donne les deux conditions à remplir

${\begin{aligned}\operatorname {F} '\left(t{\sqrt {gh}}\right)-f'\left(-t{\sqrt {gh}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)-f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)=&0,\end{aligned}}$

lesquelles devront subsister toujours, $t$ ayant une valeur positive quelconque.

Donc, en général, en prenant pour $z$ une quantité quelconque positive, on aura

$\operatorname {F} '(a+z)=f'(a-z),\quad f'(-z)=\operatorname {F} '(z).$

Donc, 1^o tant que $z$ est plus petit que $a,$ on connaîtra les valeurs de $\operatorname {F} '(a+z)$ et de $f'(-z),$ puisqu’elles se réduisent à celles de $f'(a-z)$ et de $\operatorname {F} '(z),$ qui sont données.

Mettons dans ces formules $a+z$ au lieu de $z\,;$ elles donneront

${\begin{alignedat}{3}&\operatorname {F} '(2a+z)&=&f'(-z)&=&\operatorname {F} '(z),\\&f'(-a-z)&=&\operatorname {F} '(a+z)&=&f'(a-z).\end{alignedat}}$

Donc, 2^o tant que $z$ sera plus petit que $a,$ on connaîtra aussi les valeurs de $\operatorname {F} '(2a+z)$ et de $f'(-a-z),$ puisqu’elles se réduisent à celles de $\operatorname {F} '(z)$ et de $f'(a-z),$ qui sont données.

Mettons de nouveau dans les dernières formules $a+z$ pour $z\,;$ en les combinant avec les premières, puisque $z$ peut être quelconque, on aura

${\begin{alignedat}{3}&\operatorname {F} '(3a+z)&=&\operatorname {F} '(a+z)&=&f'(a-z),\\&f'(-2a-z)&=&f'(-z)&=&\operatorname {F} '(z).\end{alignedat}}$

Donc, 3^o tant que $z$ sera plus petit que $a,$ on connaîtra encore les valeurs de $\operatorname {F} '(3a+z)$ et de $f'(-2a-z),$ puisqu’elles se réduisent aux valeurs données de $\operatorname {F} '(z)$ et de $f'(a-z).$

On trouvera de même, en mettant derechef $a+z$ pour $z,$

${\begin{alignedat}{3}&\operatorname {F} '(4a+z)&=&f'(-z)&=&\operatorname {F} '(z),\\&f'(-3a-z)&=&\operatorname {F} '(a+z)&=&f'(a-z).\end{alignedat}}$

D’où l’on connaîtra les valeurs de $\operatorname {F} '(4a+z)$ et de $f'(-3a-z),$ tant que $z$ sera plus petit que $a\,;$ et ainsi de suite.