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SECONDE PARTIE. — SECTION XII.

Ces formules reviennent à celles que nous avons examinées ci-dessus, en y supposant seulement la fonction marquée par $f'$ négative. Ainsi il en résultera des conclusions semblables, et l’on aura encore la même expression pour la durée des oscillations de la fibre sonore.

Il n’en serait pas de même si la flûte était ouverte par un bout et fermée par l’autre.

Il faudrait alors que $s$ fût toujours nulle dans le bout ouvert, et que $p$ le fût dans le bout fermé.

Ainsi, en supposant la flûte ouverte à la distance $x=0$ et fermée à la distance $x=a,$ on aura les conditions

${\begin{aligned}\operatorname {F} '\left(t{\sqrt {gh}}\right)-f'\left(-t{\sqrt {gh}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)+f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)=&0\,;\end{aligned}}$

d’où, par une analyste semblable à celle de l’article 12, on tirera les formules suivantes

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {F} '(\ \ a+z)=&-f'(a-z),&f'(-z)=&+\operatorname {F} '(z),\\\operatorname {F} '(2a+z)=&-\operatorname {F} '(z),&f'(-\ \ a-z)=&-f'(a-z),\\\operatorname {F} '(3a+z)=&+f'(a-z),\qquad &f'(-2a-z)=&-\operatorname {F} '(z),\\\operatorname {F} '(4a+z)=&+\operatorname {F} '(z),&f'(-3a-z)=&+f'(a-z),\end{alignedat}}$

et ainsi de suite.

Or, tant que $z$ est plus petit que $a,$ les fonctions $\operatorname {F} '(z)$ et $f'(a-z)$ sont données par l’état primitif de la fihre sonore ; donc on connaîtra aussi par leur moyen les valeurs des autres fonctions

$\operatorname {F} '(a+z),\quad \operatorname {F} '(2a+z),\quad \ldots ,\quad f'(-z),\quad f'(-a-z),\quad \ldots ,$

et, par conséquent, on aura l’état de la fibre après un temps quelconque $t.$

Mais on voit, par les formules précédentes, que cet état ne reviendra le même qu’après un intervalle de temps déterminé par l’équation

$t{\sqrt {gh}}=4a\,;$

d’où il s’ensuit que la durée des vibrations sera une fois plus longue