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NOTES.

minée et qui, pour les valeurs réelles de $e,$ se confondra avec l’anomalie excentrique du mouvement des planètes ; de plus, cette fonction et les fonctions finies et continues de celle-là pourront être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de $e.$

Ces propositions, qui résultent de théorèmes bien connus^[1], étant admises, la question revient à déterminer le module $a,$ ou plutôt, comme ce module dépend de $\zeta ,$ à trouver le minimum des valeurs de $a$ qui répondent aux diverses valeurs de $\zeta \,:$ c’est ce que nous allons faire en suivant la marche tracée par M. Cauchy.

Nommons $\varepsilon$ la base des logarithmes népériens, et soit

$e=a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}$

la valeur de $e$ qui a le module $a\,;$ cette valeur de $e,$ jointe à une valeur convenable de $u,$ vérifie à la fois les équations

$u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0.$

On trouve, en différentiant la première par rapport à $\zeta ,$

$(1-e\cos u){\frac {du}{d\zeta }}-\sin u{\frac {de}{d\zeta }}=1,$

ou simplement, en ayant égard à la seconde,

$-\sin u{\frac {de}{d\zeta }}=1,\qquad {\frac {de}{d\zeta }}=-{\frac {1}{\sin u}}=-{\frac {e}{u-\zeta }}.$

Mais l’équation

$e=a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}$

nous donne

${\frac {de}{d\zeta }}=e^{\alpha {\sqrt {-1}}}{\frac {da}{d\zeta }}+a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}},$

et, par suite,

${\frac {1}{e}}{\frac {de}{d\zeta }}={\frac {1}{a}}{\frac {da}{d\zeta }}+{\frac {d\alpha }{d\zeta }}{\sqrt {-1}}={\frac {d\log a}{d\zeta }}+{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}}.$

Mettant pour ${\frac {de}{d\zeta }}$ sa valeur $-{\frac {e}{u-\zeta }},$ il vient

$-{\frac {1}{u-\zeta }}={\frac {d\log a}{d\zeta }}+{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}}.$

Supposons maintenant la constante $\zeta$ telle que $a$ prenne sa valeur mini-

1. Voir divers Mémoires de Cauchy, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. X, et Exercices de Physique mahématique, t. I.