Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/351

343

NOTES.

mum ; on aura

${\frac {d\log a}{d\zeta }}=0,$

et l’équation précédente montre qu’alors la partie réelle de $-{\frac {1}{u-\zeta }}$ sera nulle ; il en sera de même, par conséquent, de la partie réelle de $u-\zeta ,$ et l’on pourra poser

$u-\zeta =\rho {\sqrt {-1}},$

$\rho$ étant une quantité réelle, ou bien

$u=\zeta +\rho {\sqrt {-1}}.$

Portons cette valeur de $u$ dans la relation

$(u-\zeta )\cos u=\sin u,$

qui résulte de l’élimination de $e$ entre les deux équations

$u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0\,;$

il viendra

${\begin{aligned}&\rho {\sqrt {-1}}\left[\cos \zeta \cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)-\sin \zeta \sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right]\\&\qquad =\sin \zeta \cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)+\cos \zeta \sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}&\cos \zeta \left[\rho {\sqrt {-1}}\cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)-\sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right]\\&\qquad =\sin \zeta \left[\cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)+\rho {\sqrt {-1}}\sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right],\end{aligned}}$

ou encore

${\sqrt {-1}}\cos \zeta \left(\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)=\sin \zeta \left({\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right).$

Chaque membre de cette dernière équation doit être nul séparément ; on peut donc poser, ou

$\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,\qquad {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,$

ou encore

$\cos \zeta =0,\quad {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,$

ou enfin

$\sin \zeta =0,\qquad \rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0.$

La première solution doit être rejetée, car on en conclurait

$\left(\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)^{2}=0,$