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NOTES.

ou bien

$(1-\rho )^{2}\varepsilon ^{2\rho }+(1+\rho )^{2}\varepsilon ^{-2\rho }=0,$

équation impossible, $\rho$ étant réel. La seconde solution nous donne $\zeta ={\frac {\pi }{2}}$^[1] et l’équation en $\rho$ peut s’écrire

$1+{\frac {\rho ^{2}}{1.2}}+{\frac {\rho ^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots -\left({\frac {\rho ^{2}}{1}}+{\frac {\rho ^{4}}{1.2.3}}+\ldots \right)=0$

ou

${\frac {\rho ^{2}}{1.2}}+{\frac {3\rho ^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {5\rho ^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots =1\,;$

on voit que la quantité réelle et positive $\rho ^{2}$ n’a qu’une seule valeur ; en la déterminant par des essais successifs et extrayant la racine carrée, on trouve

$\rho =\pm 1{,}1996785\ldots .$

On a ensuite

$e\sin u=u-\zeta =\rho {\sqrt {-1}},\qquad e\cos u=1,$

d’où, en ajoutant les carrés,

$e^{2}=1-\rho ^{2},$

et, par conséquent,

$e=\pm {\sqrt {1-\rho ^{2}}}=\pm {\sqrt {\rho ^{2}-1}}{\sqrt {-1}}=\pm 0{,}662\ 7432\ldots {\sqrt {-1}}.$

Pour savoir si le module $0{,}662\ 7432\ldots$ de $e$ est un maximum ou un minimum, il faut chercher si, en adoptant pour $a$ cette valeur, on obtient pour ${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}$ une quantité négative ou positive. Or l’équation

${\frac {d\log a}{d\zeta }}=-{\frac {1}{u-\zeta }}-{\frac {d\alpha }{d\zeta }}{\sqrt {-1}}$

nous donne

${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {1}{(u-\zeta )^{2}}}\left({\frac {du}{d\zeta }}-1\right)-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}.$

Mais de l’équation

$1-e\cos u=0$

nous tirons

$e\sin u{\frac {du}{d\zeta }}=\cos u{\frac {de}{d\zeta }}=-{\frac {\cos u}{\sin u}}=-{\frac {e\cos u}{e\sin u}}=-{\frac {1}{u-z}},$

${\frac {du}{d\zeta }}=-{\frac {1}{(u-\zeta )e\sin u}}=-{\frac {1}{(u-\zeta )^{2}}}.$

1. En supposant, ce qui est permis, $\zeta$ compris entre $0$ et $\pi .$