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NOTES.

Il en résulte

${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {(u-\zeta )^{2}+1}{(u-\zeta )^{4}}}-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}$

ou bien, en remplaçant $u-\zeta$ par $\rho {\sqrt {-1}},$

${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {\rho ^{2}-1}{\rho ^{4}}}-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}.$

Mais, le premier membre étant réel, le second doit l’être aussi ; on a donc

${\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}=0$

et, par suite,

${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {\rho ^{2}-1}{\rho ^{4}}}.$

Le nombre $\rho$ surpassant l’unité, on voit par là que ${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}$ est une quantité positive, et qu’ainsi la valeur $0{,}662\ldots$ de $a,$ correspondante à $\zeta ={\frac {\pi }{2}},$ est bien un minimum.

La troisième solution nous donnerait

$\sin \zeta =0,\quad \zeta =0\ \ {\text{ou}}\ \ \pi \,;$

on aurait en même temps

$\rho {\frac {e^{\rho }+e^{-\rho }}{2}}-{\frac {e^{\rho }-e^{-\rho }}{2}}=0$

ou

${\frac {2\rho ^{2}}{1.2.3}}+{\frac {4\rho ^{4}}{1.2.3.4.5}}+\ldots =0\,;$

par suite

$\rho =0,\quad e=\pm 1.$

Il s’ensuivrait $a=1,$ mais cette valeur de $a$ ne peut être qu’un maximum, puisque, pour $\zeta ={\frac {\pi }{2}},$ $a$ est un minimum, et qu’entre $\zeta =0$ et $\zeta ={\frac {\pi }{2}}$ il n’y a pas de maximum, non plus qu’entre $\zeta ={\frac {\pi }{2}}$ et $\zeta =\pi .$

Le nombre trouvé ci-dessus $0{,}6627432\ldots$ est donc bien le seul minimum de $a,$ et ce minimum répond à $\zeta ={\frac {\pi }{2}}.$ Ainsi les développements en série dont on fait usage dans la théorie du mouvement elliptique sont toujours convergents, tant que l’excentricité $e$ est inférieure à $0{,}6627432\ldots \,;$ dès que l’excentricité dépasse cette limite, les séries cessent d’être convergentes, si l’ano-