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NOTES.

mobile sera sollicité par les deux seules forces

${\frac {\alpha }{r^{2}}}+2\gamma r,\qquad {\frac {\beta }{q^{2}}}+2\gamma q,$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ désignant des constantes données. En nommant $\mathrm {B,\,C,\,H}$ les constantes introduites par les trois premières intégrations et en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {S} =&-{\frac {\gamma }{4}}s^{6}+\left(\mathrm {H} +{\frac {\gamma h^{2}}{4}}\right)s^{4}\,+(\alpha +\beta )s^{3}+\mathrm {C} s^{2}\,-h^{2}(\alpha +\beta )s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {B} ^{2},\\\mathrm {U} =&-{\frac {\gamma }{4}}u^{6}+\left(\mathrm {H} +{\frac {\gamma h^{2}}{4}}\right)u^{4}+(\alpha -\beta )u^{3}+\mathrm {C} u^{2}-h^{2}(\alpha -\beta )u-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {B} ^{2},\end{aligned}}$

le problème se trouve ramené aux équations suivantes, où les variables sont séparées, savoir

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}-{\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}&=0,\\d\varphi ={\frac {\mathrm {B} h^{2}ds}{\left(s^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {S} }}}}-&{\frac {\mathrm {B} h^{2}du}{\left(u^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {U} }}}},\\dt\,\ ={\frac {s^{2}ds}{4{\sqrt {\mathrm {S} }}}}-{\frac {u^{2}du}{4{\sqrt {\mathrm {U} }}}}\,;&\end{aligned}}\right.$

les deux premières de ces équations appartiennent à la trajectoire et la troisième fait connaître l’élément du temps. Les constantes $\mathrm {B,\,C,\,H}$ peuvent être déterminées en se donnant la position du mobile et sa vitesse au commencement du mouvement. Nous supposerons que cette détermination ait été faite, et alors, en désignant par $r_{0},\,s_{0},\,\varphi _{0}$ les valeurs initiales de $r,\,s,\,\varphi ,$ les équations intégrales du problème seront

(2)

$\left\{{\begin{aligned}\int _{s_{0}}^{s}{\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}-\int _{u_{0}}^{u}{\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}&=0,\\\varphi =\varphi _{0}+\mathrm {B} h^{2}\int _{s_{0}}^{s}{\frac {ds}{\left(s^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {S} }}}}&-\mathrm {B} h^{2}\int _{u_{0}}^{u}{\frac {du}{\left(u^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {U} }}}},\\t\,={\frac {1}{4}}\int _{s_{0}}^{s}{\frac {s^{2}ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}-{\frac {1}{4}}\int _{u_{0}}^{u}{\frac {u^{2}du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}.\end{aligned}}\right.$

Dans le cas général, les intégrales contenues dans les équations (2) sont des fonctions abéliennes, mais elles se réduisent à de simples fonctions elliptiques dans le cas de $\gamma =0.$ On voit que généralement les coordonnées $s$ et $u$ dépendent l’une de l’autre ; en d’autres termes, ces quantités sont toutes deux