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NOTES.

sant en raison inverse du carré de la distance, ou tendante au centre et agissant en raison directe de la distance, peut l’être encore en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre.

NOTE III.

Sur le même sujet ; par M. Gaston Darboux.

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On peut résoudre la difficulté signalée par M. Serret, en se plaçant à un point de vue différent, que nous allons rapidement indiquer.

Considérons d’une manière générale des mouvements s’effectuant sur une surface quelconque, que nous supposerons rapportée à un système de coordonnées isothermes. Soient

(1)

$ds^{2}=\lambda \left(d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}\right)$

l’expression de l’élément linéaire, $\mathrm {U}$ la fonction des forces exprimée en fonction de $\alpha ,$ et de $\beta .$ L’équation des forces vives sera

(2)

$\lambda \left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}\right)=2\mathrm {U} +2h,$

$\alpha '$ et $\beta '$ désignant les dérivées de $\alpha$ et $\beta$ par rapport au temps.

Les équations différentielles du mouvement, obtenues par la méthode de Lagrange, seront

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(\lambda \alpha ')=&{\frac {\partial \lambda }{\partial \alpha }}{\frac {\alpha '^{2}+\beta '^{2}}{2}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \alpha }},\\{\frac {d}{dt}}(\lambda \beta ')=&{\frac {\partial \lambda }{\partial \beta }}{\frac {\alpha '^{2}+\beta '^{2}}{2}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \beta }}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on y remplace $\alpha '^{2}+\beta '^{2}$ par sa valeur déduite de l’équation des forces vives, elles prennent la forme

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\lambda {\frac {d}{dt}}(\lambda \alpha ')=&{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left[\lambda (\mathrm {U} +h)\right],\\\lambda {\frac {d}{dt}}(\lambda \beta ')=&{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left[\lambda (\mathrm {U} +h)\right].\end{aligned}}\right.$