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NOTES.

ou simplement

$\mathrm {MV} ^{2}=\sum mv^{2},$

en remarquant que, d’après l’hypothèse, cette égalité a lieu au point de départ.

Cela nous montre déjà que, pour toutes les positions comme pour la position initiale, la force vive de la masse $\mathrm {M} ,$ dans le mouvement que nous considérons, est égale à la somme des forces vives des masses $m,\,m',\,m'',\ldots ,$ dans les mouvements partiels.

Il est maintenant bien facile de prouver que la force $\mathrm {N}$ est nulle et, par conséquent, que le mobile $\mathrm {M}$ parcourt la courbe $\mathrm {ACB}$ dans le mouvement composé. En effet, cette force est égale et contraire à la résultante de la force centrifuge et des composantes normales des forces $\mathrm {F,\,F',\,F''} ,\ldots \,;$ or la force centrifuge dirigée en sens inverse du rayon de courbure de la courbe est, en appelant $\rho$ ce rayon de courbure,

${\frac {\mathrm {MV} ^{2}}{\rho }}$

ou, d’après ce que nous avons démontré,

${\frac {mv^{2}}{\rho }}+{\frac {m'v'^{2}}{\rho }}+{\frac {m''v''^{2}}{\rho }}+\ldots \,;$

d’ailleurs les composantes normales des forces $\mathrm {F,\,F',\,F''} ,\ldots$ sont respectivement égales et contraires à ${\frac {mv^{2}}{\rho }},\,{\frac {m'v'^{2}}{\rho }},\,{\frac {m''v''^{2}}{\rho }},\ldots ,$ puisque les masses $m,\,m',\,m'',\ldots$ décrivent la courbe $\mathrm {ACB}$ dans les mouvements partiels ; il y a donc équilibre entre la force centrifuge et les composantes normales des forces extérieures par conséquent, la force $\mathrm {N}$ est nulle.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, le point complètement libre ; s’il était assujetti à rester sur une surface, le théorème serait encore vrai, car ce dernier cas se ramène à celui d’un point libre par l’introduction d’une force normale à la surface.