NOTE V.
Sur la plus courte distance entre deux points d’une surface.
Lorsqu’un point matériel se meut sur une surface fixe, et que, soumis à la seule influence d’une vitesse initiale, il n’est sollicité par aucune force, Lagrange démontre (p. 181) que la vitesse est constante et la ligne qu’il décrit la plus courte que l’on puisse mener entre deux de ses points. Pour prouver cette proposition, l’illustre auteur se borne à montrer que la variation de l’arc est nulle et que, par conséquent, il y a maximum ou minimum ; or, dit-il, il ne peut y avoir maximum, donc il y a minimum. Cette manière de raisonner n’est pas admissible ; on sait, en effet, qu’une intégrale dont la variation est nulle peut fort bien n’être ni maximum ni minimum ; dans le cas particulier dont il s’agit, l’assertion de Lagrange est cependant exacte, comme on peut le démontrer en quelques mots.
L’équation différentielle qui exprime que la variation de l’intégrale est nulle prouve, comme on sait, que le plan osculateur de la courbe est, en chaque point, normal à la surface. Or, en supposant les deux extrémités de l’arc considéré infiniment voisines l’une de l’autre, parmi tous les arcs qui peuvent les réunir sur la surface, le plus petit, celui qui différera le moins de la corde, sera évidemment l’arc dont la courbure est la plus petite, c’est-à-dire dont le rayon de courbure est le plus grand. Or les arcs qui réunissent deux points infiniment voisins d’une surface peuvent être considérés comme ayant même tangente, et, par conséquent, d’après un théorème bien connu de Meusnier, celui dont le plan osculateur est normal à la surface a le rayon de courbure maximum et est, par conséquent, le plus court.
La proposition énoncée par Lagrange est exacte, comme on vient de le voir, pour un arc infiniment petit quelconque ; mais elle cesserait de l’être si l’on considérait un arc d’une grandeur finie. Il existe sur ce sujet un théorème curieux, énoncé sans démonstration par Jacobi, qui donne un moyen général de déterminer, pour chaque ligne tracée sur une surface et satisfaisant aux conditions de minimum, les limites entre lesquelles elle est réellement la plus courte.
Soit une telle ligne : avançons-nous sur cette ligne à partir du point considéré comme limite fixe, en marchant vers les points suivants
