Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/365

357

NOTES.

de la courbe. Si l’on prend l’un de ces points comme seconde limite il pourra arriver qu’entre ce point et le premier il passe une autre courbe pour laquelle la condition analytique du minimum soit également remplie ; eh bien, la ligne considérée cessera d’être minimum entre le point $\mathrm {A}$ et la seconde extrémité considérée, en un point pour lequel cette seconde ligne se confond avec la première.

Ce théorème n’a pas été démontré par les géomètres qui ont commenté la célèbre Lettre dans laquelle il est énoncé^[1]. Nous croyons faire une chose utile en indiquant rapidement comment il résulte de l’Analyse de Jacobi.

L’intégrale considérée étant, en général,

$\int f(x,y,y')dx,$

la variation peut prendre la forme

$\int \mathrm {V} \delta ydx,$

$\mathrm {V}$ étant la fonction qui, égalée à zéro, fournit l’équation que l’on doit intégrer pour résoudre le problème.

Pour qu’il y ait minimum, il faut que la fonction ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y'^{2}}}$ reste constamment positive entre les limites de l’intégration. Or cette condition ne peut manquer d’être remplie, quelles que soient ces limites, puisque nous avons vu qu’il y a toujours minimum entre deux limites quelconques qui sont suffisamment rapprochées. Il faut en outre, d’après l’Analyse de Jacobi, qu’en désignant par $y$ l’expression déduite de l’équation

$\mathrm {V} =0,$

et qui renferme deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ on puisse déterminer deux constantes $\alpha$ ets $\beta$ telles qu’en posant

$u=\alpha {\frac {\partial y}{\partial a}}+\beta {\frac {\partial y}{\partial b}},$

l’expression

$-\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial y'}}+{\frac {1}{u}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y'^{2}}}{\frac {du}{dx}}\right)$

ne devienne pas infinie entre les limites de l’intégration, ou, ce qui revient au même en général, de telle sorte que $u$ puisse ne pas devenir nul entre

1. Journal de Crelle, t. XVII ; et Journal de Liouville, I^re série, t. III.