les mêmes limites. Il est clair, d’après cela, que, pour chaque valeur de s’il arrive que l’expression s’annule en deux points de la ligne minimum fournie par le calcul des variations, entre ces deux points extrêmes, on pourra affirmer que l’intégrale est un minimum. Or je dis qu’ils jouiront précisément de la propriété signalée par Jacobi, c’est-à-dire que l’on pourra mener de l’un à l’autre deux lignes infiniment voisines présentant également la propriété de minimum. Remarquons, en effet, que l’expression
est l’intégrale générale de l’équation linéaire
dans laquelle on considère comme inconnue (voir le Mémoire de Jacobi). Si donc on attribue à la valeur
et étant choisis, ce qui est permis, de telle manière que soit infiniment petit, l’expression s’annulera, puisque la valeur de s’annule par hypothèse, et que l’accroissement infiniment petit rend sa variation égale à zéro.
On aura donc deux lignes infiniment voisines réunissant les deux mêmes points, et pour lesquelles la condition
sera remplie, c’est-à-dire qui satisferont également aux conditions de minimum.
Remarquons, avant de terminer cette Note, que le Mémoire de Jacobi contient l’énoncé d’un autre théorème bien remarquable :
Si les deux courbures d’une surface sont opposées en chaque point, la ligne qui satisfait aux conditions analytiques clu minimum est toujours réellement la plus courte.
Nous nous bornerons à rappeler cet énoncé aux géomètres ; la discussion plus détaillée du problème de Géométrie qui fait l’objet de cette Note ne serait pas ici à sa place.
