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NOTES.

NOTE VI.

Note sur une formule de Lagrange relative au mouvement pendulaire ;
par M. A. Bravais.

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Mon édition de la Mécanique analytique (Paris, 1815) renfermant plusieurs fautes typographiques, je vais reprendre les calculs de Lagrange à la page 91 du Tome II^[1].

Lagrange veut calculer l’angle de rotation $\varphi$ du pendule autour de la verticale, et il écrit que, $\alpha$ et $\beta$ étant les amplitudes maximum et minimum, $\psi$ l’amplitude variable avec le temps, et $\sigma$ un angle auxiliaire donné par la formule

$\cos \psi =\cos \alpha \sin ^{2}\sigma +\cos \beta \cos ^{2}\sigma ,$

on aura

$d\varphi ={\frac {{\sqrt {2\varkappa }}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}{\frac {d\sigma }{(1+\cos \psi )\Sigma }}+{\frac {{\sqrt {2\varkappa }}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}{\frac {d\sigma }{(1-\cos \psi )\Sigma }}.$

On a d’ailleurs

${\begin{aligned}\varkappa =&{\frac {\cos \alpha +\cos \beta }{2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }},\\\Sigma =&{\sqrt {1+\varkappa (\cos \beta -\cos \alpha )\cos 2\sigma }}.\end{aligned}}$

Il s’agit d’intégrer de $\sigma =0$ à $\sigma ={\frac {\pi }{2}},$ ou, ce qui revient au même, de $\psi =\varkappa$ à $\psi =\beta ,$ en tenant compte des termes du second ordre $\alpha ,\,\beta ,$ et négligeant ceux du quatrième ordre. Le calcul du premier des deux termes qui composent la valeur de $d\varphi$\int n’offre aucune difficulté ; on peut poser

$\varkappa ={\frac {1}{4}},\quad \Sigma =1,\quad 1+\cos \psi =2,\quad {\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}=2,\quad \sin \alpha \sin \beta =\alpha \beta \,;$

on trouve alors, pour ce premier terme,

${\frac {1}{4}}\alpha \beta d\sigma$

et, intégrant,

${\frac {\pi }{2}}{\frac {\alpha \beta }{4}}.$

Le calcul du second terme est plus compliqué, parce que le dénominateur renferme le facteur $1-\cos \varphi ,$ qui est lui-même du second ordre.

1. Page 188 de ce Volume. G. D.