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NOTES.

Faites, avec Lagrange,

${\frac {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\alpha }{2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }}=\sin 2\gamma ,$

${\frac {\cos \beta -\cos \alpha }{2-\cos \beta -\cos \alpha }}=\sin 2\nu \,;$

vous aurez

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-\cos \psi }}=&{\frac {2}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \left(1+\operatorname {tang} ^{2}\nu -2\operatorname {tang} \nu \cos 2\sigma \right)}},\\{\frac {1}{(1-\cos \psi )\Sigma }}=&{\frac {2}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma }}\mathrm {\left(A''+B''\cos 2\sigma +C''\cos 4\sigma \right)} ,\end{aligned}}$

ou plus simplement, en supprimant les termes en $\cos 2\sigma ,\,\cos 4\sigma ,$ lesquels doivent disparaître par l’intégration,

${\begin{aligned}{\frac {1}{(1-\cos \psi )\Sigma }}=&{\frac {2\mathrm {A} ''}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma }}\\=&{\frac {2\mathrm {\left(A+B\operatorname {tang} \nu +C\operatorname {tang} ^{2}\nu +\ldots \right)} }{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma \left(1-\operatorname {tang} ^{2}\nu \right)}}.\end{aligned}}$

Dans cette formule, on a d’ailleurs

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+{\frac {1}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma +\ldots ,\\\mathrm {B} =&-\operatorname {tang} \gamma -\ldots ,\\\mathrm {C} =&{\frac {3}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma +\ldots ,\end{aligned}}$

ce qui change le terme à calculer en

${\frac {2{\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta d\sigma \left(1+{\frac {1}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma -\operatorname {tang} \gamma \operatorname {tang} \nu +{\frac {3}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma \operatorname {tang} ^{2}\nu +\ldots \right)}{{\sqrt {2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }}(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos \gamma \cos ^{2}\nu \left(1-\operatorname {tang} ^{2}\nu \right)}}.$

En intégrant de $\sigma =0$ à $\sigma ={\frac {\pi }{2}},$ ce terme devient

${\begin{aligned}{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{2-\cos \alpha -\cos \beta }}&{\frac {\pi {\sqrt {2}}}{\sqrt {2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }}}{\frac {1}{\cos \gamma }}{\frac {1}{\cos 2\nu }}\\\times &\left(1+{\frac {1}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma -\operatorname {tang} \gamma \operatorname {tang} \nu +{\frac {3}{4}}\operatorname {tang} ^{2}\gamma \operatorname {tang} ^{2}\nu \ldots \right).\end{aligned}}$

Si l’on néglige les quantités du quatrième ordre en $\alpha ,\,\beta$^[1]), le premier

1. La méthode suivie par Bravais est loin d’être la plus simple, et elle laisse supposer que l’expression à calculer n’est pas développable suivant les puissances entières de $\alpha$ et