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NOTES.

facteur aura pour valeur

${\frac {2\alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\left[1-{\frac {\alpha ^{4}+\beta ^{4}+4\alpha ^{2}\beta ^{2}}{12\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)}}\right]\,;$

le deuxième facteur sera

${\frac {\pi }{2}}\left[1+{\frac {3}{16}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\right]\,;$

le troisième facteur sera

${\frac {1}{\cos \gamma }}=1\,;$

le quatrième facteur sera égal à

${\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{2\alpha \beta }}\left[1-{\frac {\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right)^{2}}{24\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)}}\right]\,;$

le cinquième facteur sera égal à

$1-{\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{16}}{\sqrt {\frac {1-\cos 2\nu }{1+\cos 2\nu }}}=1-{\frac {(\alpha -\beta )^{2}}{16}}.$

Le produit total sera donc

${\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {\alpha \beta }{8}}\right),$

et, en lui ajoutant ${\frac {\pi }{2}}{\frac {\alpha \beta }{4}},$ on trouvera

$\Phi ={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {3\alpha \beta }{8}}\right),$

de $\beta .$ Il vaut mieux employer la formule

${\frac {\sin \alpha \sin \beta }{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos 2\nu }}=\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}},$

qui se déduit facilement de la valeur de $\sin 2\nu$ et qui permet de ramener l’expression à la forme

${\frac {\pi {\sqrt {2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}}{\sqrt {2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos \alpha +\cos \beta }}}(1-\operatorname {tang} \gamma \operatorname {tang} \nu +\ldots ).$

On trouve ainsi

${\frac {\pi }{2}}\left[1+{\frac {1}{16}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\right](1-\operatorname {tang} \gamma \operatorname {tang} \nu ),$

ce qui conduit au résultat de Bravais. G. D.