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NOTES.

$\Phi$ étant la différence des valeurs de la variable entre les limites $\psi =\alpha$ et $\psi =\beta .$

Lagrange a trouvé

$\Phi ={\frac {\pi }{2}}{\frac {2\alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\,;$

son erreur provient de ce que, dans le second terme de $d\varphi ,$ il a écrit, par mégarde, au dénominateur, $1+\operatorname {tang} ^{2}\nu$ au lieu de $1-\operatorname {tang} ^{2}\nu ,$ erreur qui a fait disparaître le facteur ${\frac {1}{\cos 2\nu }},$ et par cette suppression le facteur ${\frac {2\alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},$ provenant de ${\frac {\sin \alpha \sin \beta }{2-\cos \alpha -\cos \beta }},$ On peut s’étonner que Lagrange n’ait pas reconnu une telle erreur ; car la formule

$\Phi ={\frac {\pi \alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$

donne pour l’orbite du mobile, comme Lagrange en fait lui-même la remarque, une courbe festonnée, dans laquelle le rapport de l’amplitude angulaire $2\Phi$ des festons à la demi-circonférence peut varier d’une manière quelconque entre $0$ et $1\,:$ or il suffit de jeter les yeux sur un pendule oscillant elliptiquement, et, par exemple, sur un fil à plomb ordinaire, pour reconnaître que ce résultat est complètement contredit par l’observation. Tant il est vrai que l’erreur est tellement humaine, qu’elle peut se glisser sous la plume du plus illustre géomètre^[1] !

NOTE VII.

Sur la propagation des ondes.

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Lagrange admet, page 322, que les résultats auxquels il a été conduit dans le cas d’un canal peu profond peuvent s’appliquer au mouvement d’une masse liquide de profondeur quelconque, parce que, dit-il, on peut admettre

1. Voir, pour plus de développements sur la théorie du pendule conique, un Mémoire de M. Richelot (Journal de M. Crelle, t. XLV), et une Thèse très intéressante présentée par M. Tissot à la Faculté des Sciences de Paris et insérée au tome XVI du Journal de M. Liouville. (J. Bertrand.)