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FRAGMENTS.

I.

Sur la détermination des orbites des comètes.

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Soient $\mathrm {R}$ la distance de la comète à la Terre, $\mathrm {R} l,\,\mathrm {R} m,\,\mathrm {R} n$ les trois coordonnées de la comète rapportées à la Terre, où

$l^{2}+m^{2}+n^{2}=1\,;$

$x,\,y,\,z$ les trois coordonnées de l’orbite de la comète autour du Soleil, et $r$ son rayon vecteur ; $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les trois coordonnées de l’orbite de la Terre, et $\rho$ son rayon vecteur ; on aura

$x=\xi +l\mathrm {R} ,\quad y=\eta +m\mathrm {R} ,\quad z=\zeta +n\mathrm {R} .$

Ensuite

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{r^{3}}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{r^{3}}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}=&0,\\{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {\xi }{\rho ^{3}}}=&0,&{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {\eta }{\rho ^{3}}}=&0,&{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}+{\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}=&0\,;\end{alignedat}}$

donc, substituant, on aura

${\begin{alignedat}{4}&{\frac {d^{2}(l\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\xi }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\xi +l\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\\&{\frac {d^{2}(m\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\eta }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\eta +m\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\\&{\frac {d^{2}(n\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\zeta +n\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\end{alignedat}}$

savoir

${\begin{alignedat}{5}&l{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dld\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}l}{dt^{2}}}+{\frac {l}{r^{3}}}\right)&+&\xi \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0,\\&m{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dmd\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}+{\frac {m}{r^{3}}}\right)&+&\eta \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0,\\&n{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dnd\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}n}{dt^{2}}}+{\frac {n}{r^{3}}}\right)&+&\zeta \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0.\end{alignedat}}$