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FRAGMENTS.

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {X'=\xi '\ \,X+\eta '\ \,Y+\zeta '\ \,Z} ,\\&\mathrm {Y'=\xi ''\ X+\eta ''\ Y+\zeta ''\ Z} ,\\&\mathrm {Z'\ =\xi '''X+\eta '''Y+\zeta '''Z} .\end{aligned}}$

En supposant le système libre de tourner en tout sens autour de son centre, il est facile de voir que les équations de condition

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \mathrm {N} =0,\quad \ldots ,$

données par la nature du système, ne pourront contenir les coordonnées $a,\,b,\,c$ qui déterminent la disposition des corps entre eux. Ainsi les quantités $\mathrm {L,\,M,\,N} ,\ldots$ ne pourront être fonctions que des $a,\,b,\,c$ relatives aux différents corps.

Ainsi, en égalant séparément à zéro les termes de l’équation générale qui se trouveront multipliés par les variations $\delta \mathrm {P,\,\delta Q,\,\delta R} ,$ qui sont communes à tous les corps du système, et ceux qui seront multipliés par les variations $\delta a,\,\delta b,\,\delta c$ relatives à chacun de ces corps, on aura d’abord, pour tout le système en général, les trois équations

_S$\mathrm {m} \left({\frac {ad^{2}b''-bd^{2}a''}{dt^{2}}}+a\mathrm {Y} '-b\mathrm {X} '\right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left({\frac {cd^{2}a''-ad^{2}c''}{dt^{2}}}+c\mathrm {X} '-a\mathrm {Z} '\right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left({\frac {bd^{2}c''-cd^{2}b''}{dt^{2}}}+b\mathrm {Z} '-c\mathrm {Y} '\right)=0\,;$

ensuite on aura, pour chacun des corps du système, les équations

${\begin{alignedat}{5}&\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}a''}{dt^{2}}}+\mathrm {X} '\right)&+&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial a}}&+&\mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial a}}&+&\nu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial a}}&+&\ldots =0,\\&\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}b''}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} '\right)&+&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial b}}&+&\mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial b}}&+&\nu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial b}}&+&\ldots =0,\\&\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}c''}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} '\right)&+&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial c}}&+&\mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial c}}&+&\nu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial c}}&+&\ldots =0.\end{alignedat}}$

Et si le système est un corps solide composé d’éléments $\operatorname {D} m$ pour lesquels les coordonnées $a,b,c$ sont constantes relativement au temps $t,$ on a

$da=0,\qquad db=0,\qquad dc=0\,;$

donc

$da'=c\,d\mathrm {Q} -b\,d\mathrm {R} ,\qquad db'=a\,d\mathrm {R} -c\,d\mathrm {P} ,\qquad dc'=b\,d\mathrm {P} -a\,d\mathrm {Q} ,$