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FRAGMENTS.

et de là

${\begin{alignedat}{6}&d^{2}a''&=&c\,d^{2}\mathrm {Q} &-&b\,d^{2}\mathrm {R} &+&b\,d\mathrm {P} d\mathrm {Q} &+&c\,d\mathrm {P} d\mathrm {R} &-&a\left(d\mathrm {Q} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}\right),\\&d^{2}b''&=&a\,d^{2}\mathrm {R} &-&c\,d^{2}\mathrm {P} &+&a\,d\mathrm {P} d\mathrm {Q} &+&c\,d\mathrm {Q} d\mathrm {R} &-&b\left(d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}\right),\\&d^{2}c''&=&b\,d^{2}\mathrm {P} &-&a\,d^{2}\mathrm {Q} &+&a\,d\mathrm {P} d\mathrm {R} &+&b\,d\mathrm {Q} d\mathrm {R} &-&c\left(d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {Q} ^{2}\right).\end{alignedat}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans les équations précédentes, qu’on prenne pour axes des coordonnées $a,\,b,\,c$ les trois axes principaux du corps, ce qui donnera (Sect. III, art. 28)

_S$ab\operatorname {D} \mathrm {m} =0,\qquad$_S$ac\operatorname {D} \mathrm {m} =0,\qquad$_S$bc\operatorname {D} \mathrm {m} =0$

et qu’on fasse

_S$a^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =l,\qquad$_S$b^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =m,\qquad$_S$c^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =n,$

on aura, en supposant nulles les forces accélératrices,

${\begin{aligned}(l\,\ +m){\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+(l\ \,-m){\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt^{2}}}=0,\\(l\,\ +\,n){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}&+(n\ -l\ \ )\,{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt^{2}}}=0,\\(m+\,n){\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}&+(m-n\ ){\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt^{2}}}=0.\end{aligned}}$

Ces équations s’accordent avec celles que nous avons trouvées d’une manière différente dans la Section III, puisque les quantités ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ sont les vitesses de rotation autour des trois axes principaux du corps, qui étaient désignées par ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ dans les équations de l’article cité. Elles prouvent en même temps la justesse de celles-ci, sur laquelle on pouvait avoir quelques doutes à cause du passage des axes fixes aux axes mobiles ; mais l’analyse précédente, en rendant la formule générale indépendante de la position des axes de rotation, rend ce passage légitime.

Dans le même cas d’un corps solide qui n’est animé par aucune force accélératrice, nous avons vu que les équations des aines sont intégrables (Sect. III, art. 9). Si donc on fait les substitutions précédentes dans les équations intégrales, on aura des équations qui seront les intégrales de celles de l’article précédent.

Substituons d’abord les valeurs de $\xi ,\eta ,d\xi ,d\eta$ dans l’expression $\xi d\eta -\eta d\xi ,$ on aura

${\begin{aligned}\xi d\eta -\eta d\xi =(b\,dc'-c\,db')(\xi ''\eta '''-\eta ''\xi ''')+&(c\,da'-a\,dc')(\eta '\xi '''-\xi '\eta ''')\\+&(a\,db'-b\,da')(\xi '\eta ''-\eta '\xi '')\end{aligned}}$