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FRAGMENTS.

savoir, par les formules de l’article 6,

$\xi d\eta -\eta d\xi =(b\,dc'-c\,db')\zeta '+(c\,da'-a\,dc')\zeta ''+(a\,db'-b\,da')\zeta '''.$

On trouvera de la même manière

${\begin{aligned}\zeta d\xi -\xi d\zeta =&(b\,dc'-c\,db')\eta '+(c\,da'-a\,dc')\eta ''+(a\,db'-b\,da')\eta ''',\\\eta d\zeta -\zeta d\eta =&(b\,dc'-c\,db')\xi '+(c\,da'-a\,dc')\xi ''+(a\,db'-b\,da')\xi '''.\end{aligned}}$

Si l’on multiplie ces expressions par ${\frac {\operatorname {D} m}{dt}},$ qu’on les affecte du signe _S, et qu’après avoir substitué les valeurs de $da',\,db',\,dc'$ on fasse

$da=0,\qquad db=0,\qquad dc=0,$

S$ab\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$		S$b^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =m,$		S$bc\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$
S$a^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =t,$		S$ac\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$		S$c^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$

qu’ensuite on les égale aux constantes $\mathrm {C,\,B,\,A} ,$ on aura

${\begin{alignedat}{4}&(m+n){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\zeta '&+&(l+n){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\zeta ''&+&(l+m){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\zeta '''&=&\mathrm {C} ,\\&(m+n){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\eta '&+&(l+n){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\eta ''&+&(l+m){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\eta '''&=&\mathrm {B} ,\\&(m+n){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\xi '&+&(l+n){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\xi ''&+&(l+m){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\xi '''&=&\mathrm {A} \,;\end{alignedat}}$

d’où l’on tire tout de suite, par les équations de condition de l’article 3,

${\begin{alignedat}{5}&(m&+&n){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}&=&\mathrm {A} \xi '&+&\mathrm {B} \eta '&+&\mathrm {C} \zeta ',\\&(l&+&n){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}&=&\mathrm {A} \xi ''&+&\mathrm {B} \eta ''&+&\mathrm {C} \zeta '',\\&(l&+&m){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&=&\mathrm {A} \xi '''&+&\mathrm {B} \eta '''&+&\mathrm {C} \zeta '''.\end{alignedat}}$

Ces équations s’accordent avec celles de l’article 31 de la Section III, dans lesquelles ${\dot {\psi '}},\,{\dot {\omega '}},\,{\dot {\varphi '}}$ sont la même chose que ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$ et où les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots$ répondent à $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\,\eta ',\,\eta '',\ldots .$

Si l’on ajoute ensemble les carrés des trois équations précédentes, on a tout de suite une équation entre $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ et $dt,$ en vertu des équations de