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FRAGMENTS.

condition de l’article 5 ; cette équation est

$(m+n)^{2}{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt^{2}}}+(l+n)^{2}{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt^{2}}}+(l+m)^{2}{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,$

par laquelle on peut déterminer une des trois variables ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ par les deux autres.

On peut, dans le même cas d’un corps solide qui n’est animé par aucune force accélératrice, avoir une seconde équation entre ces variables, par l’équation des forces vives ; car, en ajoutant ensemble les carrés des quantités ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\eta }{dt}},\,{\frac {d\zeta }{dt}},$ on a (art. 13), à cause des équations de condition,

${\frac {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {da'^{2}+db'^{2}+dc'^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc, en affectant tous les termes du signe _S, après les avoir multipliés par $\operatorname {D} \mathrm {m} ,$ on aura, en général, pour un système quelconque, lorsqu’il n’y a point de forces accélératrices (Sect. III, art. 35),

_S$\left({\frac {da'^{2}+db'^{2}+dc'^{2}}{dt^{2}}}\right)\operatorname {D} \mathrm {m} =\mathrm {E} .$

Dans le cas d’un corps solide, on a

$da=0,\qquad db=0,\qquad dc=0\,;$

donc

${\begin{aligned}da'^{2}=&c^{2}\ d\mathrm {Q} ^{2}-2bc\,d\mathrm {Q} d\mathrm {R} +b^{2}d\mathrm {R} ^{2},\\db'^{2}=&a^{2}\,d\mathrm {R} ^{2}-2ac\,d\mathrm {P} d\mathrm {R} +c^{2}d\mathrm {P} ^{2},\\dc'^{2}=&b^{2}\ d\mathrm {P} ^{2}-2ab\,d\mathrm {P} d\mathrm {Q} +a^{2}d\mathrm {Q} ^{2}.\end{aligned}}$

Donc, supposant comme ci-dessus

	S$ab\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$		S$ac\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$		S$bc\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$
et
	S$a^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =t,$		S$b^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =m,$		S$c^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =n,$

on aura

$(m+n){\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt^{2}}}+(l+n){\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt^{2}}}+(l+m){\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {E} .$

On a ainsi deux des trois variables ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ exprimées par la troisième, mais on ne peut avoir la valeur de celle-ci que par l’intégration d’une des trois équations différentielles précédentes. Ensuite, pour avoir la valeur finie