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FRAGMENTS.

des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ d’un point quelconque du corps, il faudra encore connaître les valeurs des quantités $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\ldots \,;$ et l’on y parviendra en combinant les six équations de condition entre ces neuf quantités, comme il a été dit (Sect. IX, art. 29).

III.

Fragment sur les équations générales du mouvement de rotation
d’un système quelconque.

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Les expressions que nous avons trouvées, page 215, sont très propres à représenter les valeurs des sommes

_S$\mathrm {m} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right),\quad$_S$\mathrm {m} (\zeta d\eta -\eta d\zeta ),\quad \ldots ,$

relatives à tous les corps $\mathrm {m}$ d’un système quelconque ; car il est clair que les signes sommatoires ne doivent affecter que les coordonnées $a,\,b,\,c,$ et nullement les quantités $\xi ',\,\eta ',\ldots .$ Ainsi l’on aura, après le développement,

_S$\mathrm {m} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)$

$=d\mathrm {P} ^{2}$_S$\mathrm {m} \left(b^{2}+c^{2}\right)+d\mathrm {Q} ^{2}$_S$\mathrm {m} \left(a^{2}+c^{2}\right)+d\mathrm {R} ^{2}$_S$\mathrm {m} \left(a^{2}+b^{2}\right)$

$-2d\mathrm {P} d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} \,ab-2d\mathrm {P} d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \,ac-2d\mathrm {Q} d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \,bc+2d\mathrm {P}$_S$\mathrm {m} (b\,dc-c\,db)$

$+2d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} (c\,da-a\,dc)+2d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} (a\,db-b\,da)+$_S$\mathrm {m} \left(da^{2}+db^{2}+dc^{2}\right),$

_S$\mathrm {m} (\xi d\eta -\eta d\xi )=\zeta 'd\Gamma +\zeta ''d\Delta +\zeta '''d\Lambda ,$

_S$\mathrm {m} (\zeta d\xi -\xi d\zeta )=\eta 'd\Gamma +\eta ''d\Delta +\eta '''d\Lambda ,$

_S$\mathrm {m} (\eta d\zeta -\zeta d\eta )=\xi 'd\Gamma +\xi ''d\Delta +\xi '''d\Lambda ,$

en faisant, pour abréger,

$d\Gamma \,=d\mathrm {P} \,$_S$\mathrm {m} \left(b^{2}+c^{2}\right)-d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} \,ab-d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \,ac+$_S$\mathrm {m} (b\,dc-c\,db),$

$d\Delta =d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} \left(a^{2}+c^{2}\right)-d\mathrm {P}$_S$\mathrm {m} \,ab-d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \,bc+$_S$\mathrm {m} (c\,da-a\,dc),$

$d\Lambda \ =d\mathrm {R}$_S$\mathrm {m} \left(a^{2}+b^{2}\right)-d\mathrm {P}$_S$\mathrm {m} \,ac-d\mathrm {Q}$_S$\mathrm {m} \,bc+$_S$\mathrm {m} (a\,db-b\,da)\,;$