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qu’on néglige dans le calcul. Or vous sentez bien que, si les forces qui résultent de la rotation du corps ne se détruisent pas entièrement et rigoureusement, les forces restantes, quelque petites qu’elles soient, doivent nécessairement produire quelque changement dans l’axe de rotation et dans la vitesse. À l’égard des cordes vibrantes, je n’ai rien à ajouter à ce que j’en ai dit dans le troisième Volume des Mémoire de Turin, d’autant plus qu’il me semble que nous sommes à présent presque entièrement d’accord sur cette matière ; je ne saurais cependant me rendre aux raisons avec lesquelles vous combattez l’analyse de la page 221 de ce Volume. Je conviens que le développement de la fonction $\varphi (t+a)$ en $\varphi (t)+a{\frac {d\varphi (t)}{dt}}+\ldots$ peut donner des séries divergentes ; mais cet inconvénient n’influe point, ce me semble, sur le résultat de mon calcul, résultat qui ne dépend nullement de la somme de la série dont il s’agit.

L’exemple que vous apportez à la page 345 pour fortifier votre objection ne me paraît pas décisif, car : 1^o je trouve qu’il est possible de réduire $y^{\frac {2}{3}}$ à cette forme

$\alpha +\beta \cos y+\gamma \cos 2y+\ldots .$

En effet,

$y=\sin y+a\sin ^{3}y+b\sin ^{5}y+\ldots =\sin y(a'+b'\cos 2y+c'\cos 4y+\ldots )\,;$

donc

${\begin{aligned}y^{2}&={\frac {1-\cos ^{2}y}{2}}(a''+b''\cos 2y+c''\cos 4y+\ldots )\\&=a'''+b'''\cos 2y+c'''\cos 4y+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc, extrayant de part et d’autre la racine cubique, on aura

$y^{\frac {2}{3}}=\alpha +\gamma \cos 2y+\delta \cos 4y+\ldots .$

2^o En faisant $x-\sin x=y$ et $1-\cos x=z,$ j’ai

$\cos x=1-z,\qquad \sin x={\sqrt {2z-z^{2}}}\,;$