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DE LAGRANGE AVEC D’ALEMBERT

donc

$x=y+{\sqrt {2z-z^{2}}},$

et, par conséquent,

${\sqrt {2z-z^{2}}}=\sin \left(y+{\sqrt {2z-z^{2}}}\right),$

d’où il est aisé de tirer $z$ par approximation. Or, supposant d’abord $z$ fort petit, on aura

${\sqrt {2z}}=\sin y+\cos y{\sqrt {2z}}\,;$

donc

${\sqrt {2z}}={\frac {\sin y}{1-\cos y}}\quad {\text{et}}\quad 2z={\frac {1-\cos ^{2}y}{(1-\cos y)^{2}}}={\frac {1+\cos y}{1-\cos y}},$

expression qui se réduit évidemment à cette forme :

$\alpha +\beta \cos y+\gamma \cos 2y+\ldots .$

Votre démonstration du principe de la force d’inertie est très-belle et très-ingénieuse ; il serait seulement à souhaiter qu’on pût la rendre un peu plus simple et plus courte, ce qui ne me paraît pas impossible.

Au reste, celui de tous les Mémoires qui composent votre quatrième Volume que j’estime le plus, et qui doit selon moi mériter le plus l’attention des géomètres, c’est celui qui roule sur le Calcul intégral^[1]. Je l’ai déjà bien étudié et je me propose de l’étudier encore pour profiter des vues ingénieuses et nouvelles que vous y donnez, et à l’aide desquelles je ne doute pas qu’on ne puisse aller bien loin dans cette matière.

Vous me demandez, mon cher ami, qu’est-ce que signifient les deux dernières élections que notre Académie a faites (car, pour celle de M. d’Avila, je vous en ai rendu compte dans le temps, si je ne me trompe) ; je vous réponds que je n’en sais rien et que nous n’avons fait que nous conformer aux ordres du roi, qui s’est réservé depuis quelques années non-seulement la nomination, mais même la présen-

1. Recherclees de Calcul intégral, p. 225-282.