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port à deux coordonnées $\mathrm {TM,\,ML}$ de position constante ; il transforme ensuite ces deux coordonnées en deux autres $\mathrm {TM',\,MT,\,TM} '$ étant dirigée vers le Soleil ; ensuite il tire $\mathrm {T} m$ telle que l’angle $m\mathrm {TM} '$ soit égal à l’élongation moyenne de la Lune à l’opposition du Soleil, et il a deux nouvelles coordonnées $\mathrm {T} m,\,m\mathrm {L} \,;$ il appelle $\mathrm {T} m,$ $a(1+x),$ $a$ étant la distance moyenne de la Lune, et $\mathrm {LM} ,$ $ay,$ et il $a,$ par le moyen des équations précédentes, deux équations différentielles du second ordre dont $d\,dx$ et $d\,dy$ sont les premiers termes, et qui sont assez compliquées.

Toutes ces réductions et transformations occupent huit grandes pages d’une écriture assez serrée. Il remarque ensuite, ce qu’il est facile de voir, que la longitude vraie de la Lune est égale à la longitude moyenne, plus l’équation du centre du Soleil, plus l’angle dont la tangente est ${\frac {y}{1+x}},$ c’est-à-dire l’angle $\mathrm {LT} m.$ Il intègre ensuite les équations différentielles en $d\,dx$ et $d\,dy$ : 1^o en n’ayant égard qu’à la variation, c’est-à-dire à l’élongation de la Lune au Soleil ; 2^o en n’ayant égard qu’à l’excentricité combinée avec l’élongation ; 3^o en ayant égard à la latitude de la Lune, ce qui lui donne une troisième équation différentielle du deuxième ordre en $z,$ $z$ étant la distance de la Lune à l’écliptique, et sur ce point sa méthode revient, ce me semble, à la vôtre, par laquelle vous vous passez des deux équations du mouvement des nœuds et de l’inclinaison ; après quoi il cherche les inégalités qui, dans l’expression de $x$ et de $y,$ dépendent de l’inclinaison de l’orbite ; 4^o il cherche ensuite les termes qui dans $x$ et $y$ dépendent de la parallaxe du Soleil ; 5^o enfin il cherche celles qui dépendent de l’excentricité de l’orbite de la Terre. Pour ces différentes intégrations, il n’emploie d’autre méthode que celle des coefficients indéterminés, sans aucun artifice particulier ; par exemple, pour les inégalités qui viennent de l’élongation, il fait d’abord $x=a\cos 2p,$ $y=b\sin 2p,$ $p$ étant l’élongation moyenne, et il trouve par des approximations successives de nouveaux termes qui contiennent $\cos 4p$ et $\sin 4p,$ etc. Pour les inégalités qui dépendent de l’excentricité de l’orbite, il fait d’abord $x=\alpha \cos q$ et $y=\beta \sin q,$ $q$ étant l’anomalie moyenne, et il trouve ensuite par des approximations réité-