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la difficulté. Je trouve, par exemple, que $y=ax+\mathrm {A} x^{2}$ satisfait à l’équation de condition

$y=\Xi (a+x)-\Xi x,$

mais pourtant doit être rejetée, parce que, si $a=0,$ $y$ ne serait pas $=0.$ Mais on pourrait faire le même raisonnement si un corps se mouvait avec une résistance constante, et cependant il ne se mouvrait pas. En général, l’équation

${\frac {d\,dy}{dx^{2}}}=\varphi \left({\frac {dy}{dx}}\right)$

que j’ai trouvée est celle de la résistance comme une fonction de la vitesse reste à savoir si l’on peut supposer légitimement une cause ou force retardatrice ou accélératrice qui dépende de la vitesse, et qui, étant inhérente au corps, reçoive de la vitesse sa direction. C’est ici où la métaphysique commence, et j’en suis fâché pour la démonstration.

J’ai quelque idée de vous avoir dit, dans une de mes Lettres^[1], à l’occasion de la solution d’un problème de Simpson, dont vous trouviez le résultat juste, que Simpson avait fait en cette occasion deux fautes dont les résultats s’étaient corrigés. La première, et la seule à laquelle j’aie fait attention, page 283 du Tome V de mes Opuscules, est d’avoir fait $f={\frac {dz^{2}}{2r}}$ au lieu de $f={\frac {dz^{2}}{r}}\,;$ la seconde, à laquelle je n’avais pas pris garde, et la seule des deux que le chevalier d’Arcy a relevée, est d’avoir fait $d\,dx={\frac {dz\,dz\cos z}{r}},$ au lieu qu’il est facile de prouver d’une manière directe, synthétique même et très-simple, que ce qu’on appelle ici $d\,dx$ est réellement ${\frac {2dx\,dz\cos z}{r}}.$ Ces deux erreurs se compensant, comme il est aisé de le voir, redonnent le résultat de Simpson. Mais sa démonstration ou solution n’en est pas meilleure ; elle n’en est même, en quelque sorte, que plus défectueuse, et d’ailleurs sa solution du problème des équinoxes pèche par mille autres endroits, comme je crois l’avoir prouvé.

1. Voir plus haut la Lettre 24, p. 56.