répondre. M. Watelet m’a dit de vos nouvelles et est bien sensible à toutes vos attentions. Je viens maintenant à votre Lettre.
1o Ce que vous me mandez sur les cordes vibrantes semble me donner gain de cause absolument. En effet, j’ai prouvé dans mes Opuscules (p. 27, Tome I), et il résulte d’ailleurs de votre théorème que, si lorsque est infiniment petite, la valeur de en contient un terme de cette forme ( est très-petit), fera un saut à l’origine et y sera finie, en sorte qu’on n’aura pas Or, si cette valeur de renferme un terme étant pair et positif, alors, faisant on aura un terme dans la valeur de donc ou sera finie. Donc la valeur de à l’origine ne doit contenir que des puissances impaires positives non négatives, parce que serait infinie à l’origine non fractionnaires, parce qu’il y aurait quelque valeur qui serait finie à l’origine par exemple, si était ce serait or, comme on peut placer aux deux extrémités indifféremment l’origine de la courbe, il est clair qu’en ces deux points on aura d’où il est aisé de conclure que la courbe aura trois branches alternatives égales et semblables au-dessus et au-dessous de l’axe, celle du milieu au-dessus donc, comme je l’ai prouvé dans mes Opuscules, elle aura pour loirs des branches alternatives à l’infini ; donc le problème ne pourra se résoudre que quand les branches alternatives seront assujetties à la loi de continuité. Au reste, je crois avoir aussi trouvé (à ma manière), depuis votre Lettre reçue, une démonstration de votre théorème, qui est très-beau.
2o Ce que vous me mandez sur l’équation du problème des trois corps me persuade, ce que j’ai toujours pensé, de l’imperfection des méthodes connues jusqu’ici. Je suis même résolu, dès que j’aurai le temps (car j’ai bien d’autres choses en tête), de chercher une meilleure
