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Votre théorème sur

$\varphi =\left(x+y{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right)=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}}$

est charmant ; j’ai trouvé moyen, ce me semble, de le généraliser beaucoup par les considérations suivantes :

1^o Soit

$\left(1+h{\sqrt {-1}}\right)^{x'+y'{\sqrt {-1}}}=\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)^{x'+y'{\sqrt {-1}}}\,;$

on aura

${\begin{aligned}y'\log {\sqrt {1+hh}}+x'(\omega \pm 2n\pi )=\pm \rho \pi ,\\y'\log {\sqrt {1+hh}}-x'(\omega \pm 2n\pi )=\pm \sigma \pi ,\end{aligned}}$^[1],

$\omega$ étant le plus petit des angles qui ont $h$ pour sinus et $1$ pour cosinus, et pour rayon ${\sqrt {1+hh}}$ $n$ et $n'$ des nombres entiers quelconques, et $\rho ,\,\sigma$ des nombres entiers tous deux pairs ou tous deux impairs. Si $y=0,$ alors $n=n',$ ce qui revient à votre cas ; et pour lors $\rho =-\sigma ,$ et $\rho$ peut être tel nombre entier qu’on voudra. Je tire ce théorème de ma méthode pour trouver la valeur de $\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)^{m+n{\sqrt {-1}}},$ donnée dans mon Traité des vents^[2] et ailleurs.

2^o De là je conclus aisément que, au lieu de votre terme $(f+hx)^{\frac {\mu }{\theta }},$ je puis mettre

$(f+hx)^{x'+y'{\sqrt {-1}}},$

$x'$ et $y'$ ayant les conditions susdite. Je puis même mettre

$\left[k+\mathrm {A} (f+hx)^{\lambda }\right]^{p},$

$\lambda$ étant $x'+y'{\sqrt {-1}},$ $p$ un entier positif ou négatif, et $k$ une constante quelconque. Je puis même encore, à ce qu’il me semble, mettre

$\left[k+\mathrm {A} '(f+hx)^{\lambda }\right]^{p},$

pourvu que $p\lambda =x'+y'{\sqrt {-1}},$ $x'$ et $y'$ ayant les propriétés susdites.

3^o Je pourrai aussi mettre tant de termes qu’on voudra de cette

1. Il y a dans ces formules une inadvertance qu’il ne nous a point paru nécessaire de corriger.
2. Réflexions sur la cause générale des vents, 1747, in-4^o.